Hjdcti

Numeerisessa analyysissä Lagrangen interpolaatiopolynomi on polynomimuotoinen funktio, joka kulkee annettujen pisteiden kautta. Polynomi on nimetty Joseph-Louis Lagrangen mukaan, vaikka sen keksi ensimmäisenä Edward Waring vuonna 1779 ja myöhemmin Leonhard Euler vuonna 1783.

Kuva osoittaa neljälle pisteelle ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)) kolmannen asteen interpolaatiopolynomin L(x), joka on summa skaalattuja kantapolynomeja y₀l₀(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x) ja y₃l₃(x). Interpolaatiopolynomi kulkee kaikkien neljän pisteen kautta ja jokainen kantapolynomi kulkee kiinnitetyn pisteen kautta ja saa arvon nolla kun x saa jonkin muun kiinnitetyn pisteen arvon.

Määritelmä |

Olkoon annettu joukko k + 1 havaintoja

(x0,y0),…,(xk,yk),displaystyle (x_0,y_0),ldots ,(x_k,y_k),

missä kaikki x_j:t ovat keskenään erisuuria. Tällöin Lagrangen interpolaatiopolynomi on lineaarikombinaatio

L(x)=∑j=0kyjℓj(x)displaystyle L(x)=sum _j=0^ky_jell _j(x)

Lagrangen kantapolynomeja

ℓj(x)=∏i=0j≠ikx−xixj−xi=x−x0xj−x0⋯x−xj−1xj−xj−1x−xj+1xj−xj+1⋯x−xkxj−xk.displaystyle ell _j(x)=prod _i=0 atop jneq i^kfrac x-x_ix_j-x_i=frac x-x_0x_j-x_0cdots frac x-x_j-1x_j-x_j-1frac x-x_j+1x_j-x_j+1cdots frac x-x_kx_j-x_k.

Todistus |

Hakemamme funktio on astetta k oleva polynomifunktio L(x), jolle

L(xj)=yjj=0,…,kdisplaystyle L(x_j)=y_jqquad j=0,ldots ,k

Stonen–Weierstrassin lauseen mukaan tällainen funktio on olemassa ja yksikäsitteinen. Lagrangen polynomi on ratkaisu kyseiseen interpolaatio-ongelmaan.

Kuten helposti nähdään,

1. 
   ℓj(x)displaystyle ell _j(x) on astetta k oleva polynomi.


2. ℓi(xj)=δij,0≤i,j≤k.displaystyle ell _i(x_j)=delta _ij,quad 0leq i,jleq k.,

Siten funktio L(x) on astetta k oleva polynomi ja

L(xi)=∑j=0kyjℓj(xi)=yi.displaystyle L(x_i)=sum _j=0^ky_jell _j(x_i)=y_i.

Siten L(x) on hakemamme yksikäsitteinen interpolaatiopolynomi.

Polynomin idea |

Interpolaatio-ongelman ratkaisu johtaa lineaariseen matriisimuotoiseen yhtälöön. Valitsemalla interpolaatiopolynomin kannaksi monomit saadaan usein hyvin monimutkainen Vandermonden matriisi. Sen sijaan valitsemalla kannaksi Lagrangen kannan päädymme paljon yksinkertaisempaan yksikkömatriisiin, jonka ratkaisu voidaan lukea välittömästi suoraan matriisista.

Käyttö |

Esimerkki |

Tangenttifunktio ja sen interpolaatio.

Haluamme interpoloida funktiota f(x)=tan⁡xdisplaystyle f(x)=tan x pisteissä

x0=−1.5displaystyle x_0=-1.5	f(x0)=−14.1014displaystyle f(x_0)=-14.1014
x1=−0.75displaystyle x_1=-0.75	f(x1)=−0.931596displaystyle f(x_1)=-0.931596
x2=0displaystyle x_2=0	f(x2)=0displaystyle f(x_2)=0
x3=0.75displaystyle x_3=0.75	f(x3)=0.931596displaystyle f(x_3)=0.931596
x4=1.5displaystyle x_4=1.5	f(x4)=14.1014displaystyle f(x_4)=14.1014

Nyt kantapolynomeiksi saadaan:

ℓ0(x)=x−x1x0−x1⋅x−x2x0−x2⋅x−x3x0−x3⋅x−x4x0−x4=1243x(2x−3)(4x−3)(4x+3)displaystyle ell _0(x)=x-x_1 over x_0-x_1cdot x-x_2 over x_0-x_2cdot x-x_3 over x_0-x_3cdot x-x_4 over x_0-x_4=1 over 243x(2x-3)(4x-3)(4x+3)

ℓ1(x)=x−x0x1−x0⋅x−x2x1−x2⋅x−x3x1−x3⋅x−x4x1−x4=−8243x(2x−3)(2x+3)(4x−3)displaystyle ell _1(x)=x-x_0 over x_1-x_0cdot x-x_2 over x_1-x_2cdot x-x_3 over x_1-x_3cdot x-x_4 over x_1-x_4=-8 over 243x(2x-3)(2x+3)(4x-3)

ℓ2(x)=x−x0x2−x0⋅x−x1x2−x1⋅x−x3x2−x3⋅x−x4x2−x4=1243(243−540x2+192x4)displaystyle ell _2(x)=x-x_0 over x_2-x_0cdot x-x_1 over x_2-x_1cdot x-x_3 over x_2-x_3cdot x-x_4 over x_2-x_4=1 over 243(243-540x^2+192x^4)

ℓ3(x)=x−x0x3−x0⋅x−x1x3−x1⋅x−x2x3−x2⋅x−x4x3−x4=−8243x(2x−3)(2x+3)(4x+3)displaystyle ell _3(x)=x-x_0 over x_3-x_0cdot x-x_1 over x_3-x_1cdot x-x_2 over x_3-x_2cdot x-x_4 over x_3-x_4=-8 over 243x(2x-3)(2x+3)(4x+3)

ℓ4(x)=x−x0x4−x0⋅x−x1x4−x1⋅x−x2x4−x2⋅x−x3x4−x3=1243x(2x+3)(4x−3)(4x+3)displaystyle ell _4(x)=x-x_0 over x_4-x_0cdot x-x_1 over x_4-x_1cdot x-x_2 over x_4-x_2cdot x-x_3 over x_4-x_3=1 over 243x(2x+3)(4x-3)(4x+3)

Siten interpolaatiopolynomi on

1243(f(x0)x(2x−3)(4x−3)(4x+3)−8f(x1)x(2x−3)(2x+3)(4x−3)displaystyle 1 over 243Big (f(x_0)x(2x-3)(4x-3)(4x+3)-8f(x_1)x(2x-3)(2x+3)(4x-3)

+f(x2)(243−540x2+192x4)−8f(x3)x(2x−3)(2x+3)(4x+3)displaystyle +f(x_2)(243-540x^2+192x^4)-8f(x_3)x(2x-3)(2x+3)(4x+3),

+f(x4)x(2x+3)(4x−3)(4x+3))displaystyle +f(x_4)x(2x+3)(4x-3)(4x+3)Big ),

=−1.47748x+4.83456x3.displaystyle =-1.47748x+4.83456x^3.,

Huomaa |

Lagrangen polynomi osoittaa sen, että polynomi saadaan aina kulkemaan annettujen pisteiden kautta, ja että tämä polynomi on yksikäsitteinen pienintä mahdollista astetta oleva kiinnitettyjen pisteiden kautta kulkeva polynomi. Kuitenkin jos solmut x_k vaihtuvat, joudutaan kaikki Lagrangen kantapolynomit laskemaan uudelleen. Käytännön laskuissa on parempi käyttää Newtonin polynomeja.

Lagrangen- ja muut interpolaatiopolynomit oskilloivat kiinnitettyjen arvojen välillä. Oskillointia voidaan pienentää kun interpolointipisteiksi valitaan Tšebyševin solmut.

Lagrangen kantapolynomeja käytetään numeerisessa integroinnissa johtamaan Newtonin–Cotesin kaavat.

Lagrangen interpolaatiota käytetään paljon äänen digitaalisessa signaalinkäsittelyssä määrittämään FIR-filtterit.