Hjdcti

Ristikorrelaatio eli liukuva pistetulo on signaalinkäsittelyssä käytetty mittari, joka kertoo kahden aaltomuodon samankaltaisuuden, kun toista on siirretty ajan τdisplaystyle tau verran. Usein ristikorrelaation avulla etsitään lyhyttä signaalia f pidemmästä signaalista g.

Sanan ristikorrelaatio vaihtoehtoinen merkitys (tilastotieteessä) on kahden satunnaismuuttujan X ja Y kovarianssi cov(X, Y) erotuksena yhden satunnaismuuttujan X "kovarianssista", jolla tarkoitetaan muuttujan X skalaarikomponenttien kovarianssimatriisia.

Jatkuville funktioille f ja g alussa mainittu ristikorrelaatio määritellään:

(f⋆g)(t) =def∫−∞∞f∗(τ) g(t+τ)dτ,displaystyle (fstar g)(t) stackrel mathrm def =int _-infty ^infty f^*(tau ) g(t+tau ),dtau ,

missä f * tarkoittaa funktion f kompleksikonjugaattia.

Vastaavasti diskreeteille funktioille ristikorrelaatio määritellään:

(f⋆g)[n] =def∑m=−∞∞f∗[m] g[n+m].displaystyle (fstar g)[n] stackrel mathrm def =sum _m=-infty ^infty f^*[m] g[n+m].

Ristikorrelaatio siis eroaa konvoluutiosta siten, että konvoluutiossa funktio g peilataan (käännetään) ajallisesti (termin n+m tilalla n-m) ja funktiota f ei konjugoida. Joskus ristikorrelaatio normalisoidaan.

Funktion ristikorrelaatiossa itsensä kanssa huippu saavutetaan aina muuttujan arvolla nolla (aito huippu, ellei kyseessä ole nollasignaali).

Selitys |

Jos funktio f on sama kuin funktio g mutta siirrettynä, näiden ristikorrelaation maksimikohta kertoo, kuinka suuri siirto oli. Muutenkin ristikorrelaation reaaliosan maksimikohta kertoo, mikä kohta g:stä on pisimmällä f:n suunnassa.

Normalisoitu ristikorrelaatio |

Kuvankäsittelysovelluksissa, joissa kuvan ja etsityn mallin kirkkaus vaihtelevat, kuvat normalisoidaan ennen ristikorrelaation laskemista.

Kun kuvasta f(x,y)displaystyle f(x,y) etsitään mallia t(x,y)displaystyle t(x,y), tämä tehdään seuraavasti:

1n−1∑x,y(f(x,y)−f¯)(t(x,y)−t¯)σfσtdisplaystyle frac 1n-1sum _x,yfrac (f(x,y)-overline f)(t(x,y)-overline t)sigma _fsigma _t.

missä ndisplaystyle n on pikselien lukumäärä, f¯displaystyle overline f signaalin f keskiarvo
ja σfdisplaystyle sigma _f keskihajonta (jakajan n-1 selitys on samanlainen kuin keskihajonnan määritelmässä).
Jos merkitään

F(x,y)=f(x,y)−f¯displaystyle F(x,y)=f(x,y)-overline f

ja

T(x,y)=t(x,y)−t¯displaystyle T(x,y)=t(x,y)-overline t

niin normalisoitu ristikorrelaatio voidaan kirjoittaa muotoon

⟨F‖F‖,T‖T‖⟩displaystyle leftlangle frac FF,frac TTrightrangle

missä ⟨⋅,⋅⟩displaystyle langle cdot ,cdot rangle on sisätulo ja ‖⋅‖displaystyle on L²-normi. Kyseessä on siis normalisoitujen vektoreiden välinen pistetulo eli vektorien F ja T välisen kulman kosini, joka on siis välillä -1...1, mikäli F ja T ovat reaalisia matriiseja. Jos arvo on 1, matriisi T on sama kuin matriisi F kerrottuna positiivisella vakiolla.