Kulmakerroin Sisällysluettelo Kulmakertoimen määritelmä | Esimerkki | Geometria | Algebra | Differentiaalilaskenta | Kirjallisuutta | Navigointivalikko

Analyyttinen geometriaAlgebraDifferentiaalilaskenta


matematiikassakoordinaatistossasuoranreaalilukuanalyyttisessä geometriassaalgebrassatrigonometriassadifferentiaalilaskennassaTekniikassaluiskienkattojenlattioidenprosentteinasuhdelukunapisteennormaalikäänteislukujenvastaluvuttangenttiradiaaneinavakiotermiFunktionderivaatta






Janan kulmakerroin määritellään y-koordinaatin muutoksen ja x-koordinaatin muutoksen suhteena: k = Δy / Δx.


Kulmakerroin on matematiikassa kaksiulotteisessa koordinaatistossa y-koordinaatin muutoksen Δy ja sitä vastaavan x-koordinaatin muutoksen Δx suhde, jonka tarkoitus on kuvata suoran kaltevuutta. Kulmakerrointa merkitään k:lla, ja se voi olla mikä tahansa reaaliluku. Kulmakerroin on keskeinen käsite analyyttisessä geometriassa, algebrassa, trigonometriassa ja differentiaalilaskennassa.


Tekniikassa kulmakerrointa käytetään yleisesti erilaisten pintojen kaltevuuden ilmaisemiseen. Esimerkiksi tien tai rautatien pituuskaltevuus on kulmakerroin: 35 promillen kaltevuus merkitsee 35 metrin nousua yhtä vaakasuuntaista kilometriä kohti. Tällä tavoin ilmoitetaan myös rinteen jyrkkyys urheilussa. Rakentamisessa luiskien, kattojen, lattioiden ym. kaltevuus ilmoitetaan usein kulmakertoimena, joko prosentteina tai suhdelukuna. Lattioiden ym. kaltevuutta kutsutaan myös kaadoksi.




Sisällysluettelo





  • 1 Kulmakertoimen määritelmä


  • 2 Esimerkki

    • 2.1 Suoran normaali



  • 3 Geometria


  • 4 Algebra


  • 5 Differentiaalilaskenta


  • 6 Kirjallisuutta




Kulmakertoimen määritelmä |


Suoran kulmakerroin määritellään kahden minkä tahansa suoralla olevan pisteen avulla.
Pisteiden (x1, y1) ja (x2, y2), kun x1 ei ole x2, kautta kulkevan suoran kulmakerroin on


k=ΔyΔx=y2−y1x2−x1.displaystyle k=frac Delta yDelta x=frac y_2-y_1x_2-x_1.
  • Jos suoran k > 0, suora on nouseva.

  • Jos suoran k < 0, suora on laskeva.

  • Jos suoran k = 0, suora on x-akselin suuntainen eli vaakasuora.

  • Jos suoran k on määrittelemätön eli jos x1 = x2, suora on y-akselin suuntainen eli pystysuora.

  • Jos kahden suoran kulmakertoimet ovat yhtäsuuret tai jos suorat ovat pystysuoria, suorat ovat yhdensuuntaiset.

  • Jos kahden suoran kulmakertoimien tulo on −1 tai jos toinen suora on pystysuora ja toinen vaakasuora, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.


Esimerkki |




Suora ja sen normaali


Lasketaan pisteiden (2,3) ja (8,7) kautta kulkevan suoran kulmakerroin


k=7−38−2=46=23displaystyle k=frac 7-38-2=frac 46=frac 23


Suora on nouseva (koska k > 0).



Suoran normaali |


Suoran normaali on suora, joka kulkee 90° asteen kulmassa suoran läpi. Näiden kahden suoran kulmakertoimet ovat toistensa käänteislukujen vastaluvut.


Edellä olevan esimerkin suoran normaalin kulmakerroin on siis −32displaystyle -frac 32.



Geometria |


Mitä suurempi suoran kulmakerroin on, sitä jyrkemmin suora nousee ylöspäin. Suoran kaltevuutta voidaan kuvata myös suuntakulmalla α, joka on suoran ja positiivisen x-akselin muodostama välillä ]−90°, 90°] oleva kulma. Suoran kulmakerroin on yhtä suuri kuin suoran suuntakulman tangentti eli


k=tanαdisplaystyle k=tan ,alpha

ja


α=arctank.displaystyle alpha =arctan ,k.

Kun suuntakulma on pieni, on kulmakerroin likimäärin yhtä suuri kuin kulma radiaaneina.



Algebra |


Lineaarisen eli ensimmäisen asteen funktion ratkaistusta muodosta


y=kx+bdisplaystyle y=kx+b,

nähdään suoran kulmakerroin k ja vakiotermi b, joka ilmoittaa suoran ja y-akselin leikkauspisteen (0, b).


Jos suoran kulmakerroin on k ja suoran piste on (x0, y0), suoran yhtälö on


y−y0=k(x−x0).displaystyle y-y_0=k(x-x_0),.


Differentiaalilaskenta |


Funktion derivaatta jossakin pisteessä x0displaystyle x_0 on funktion muodostamaa käyrää sivuavan tangentin kulmakerroin kohdassa x0displaystyle x_0.



Kirjallisuutta |


  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).

Popular posts from this blog

Disable / Remove link to Product Items in Cart Planned maintenance scheduled April 23, 2019 at 23:30 UTC (7:30pm US/Eastern) Announcing the arrival of Valued Associate #679: Cesar Manara Unicorn Meta Zoo #1: Why another podcast?How can I limit products that can be bought / added to cart?Remove item from cartHide “Add to Cart” button if specific products are already in cart“Prettifying” the custom options in cart pageCreate link in cart sidebar to view all added items After limit reachedLink products together in checkout/cartHow to Get product from cart and add it againHide action-edit on cart page if simple productRemoving Cart items - ObserverRemove wishlist items when added to cart

Helsingin valtaus Sisällysluettelo Taustaa | Yleistä sotatoimista | Osapuolet | Taistelut Helsingin ympäristössä | Punaisten antautumissuunnitelma | Taistelujen kulku Helsingissä | Valtauksen jälkeen | Tappiot | Muistaminen | Kirjallisuutta | Lähteet | Aiheesta muualla | NavigointivalikkoTeoksen verkkoversioTeoksen verkkoversioGoogle BooksSisällissota Helsingissä päättyi tasan 95 vuotta sittenSaksalaisten ylivoima jyräsi punaisen HelsinginSuomalaiset kuvaavat sotien jälkiä kaupungeissa – katso kuvat ja tarinat tutuilta kulmiltaHelsingin valtaus 90 vuotta sittenSaksalaiset valtasivat HelsinginHyökkäys HelsinkiinHelsingin valtaus 12.–13.4. 1918Saksalaiset käyttivät ihmiskilpiä Helsingin valtauksessa 1918Teoksen verkkoversioTeoksen verkkoversioSaksalaiset hyökkäävät Etelä-SuomeenTaistelut LeppävaarassaSotilaat ja taistelutLeppävaara 1918 huhtikuussa. KapinatarinaHelsingin taistelut 1918Saksalaisten voitonparaati HelsingissäHelsingin valtausta juhlittiinSaksalaisten Helsinki vuonna 1918Helsingin taistelussa kaatuneet valkokaartilaisetHelsinkiin haudatut taisteluissa kaatuneet punaiset12.4.1918 Helsingin valtauksessa saksalaiset apujoukot vapauttavat kaupunginVapaussodan muistomerkkejä Helsingissä ja pääkaupunkiseudullaCrescendo / Vuoden 1918 Kansalaissodan uhrien muistomerkkim

Adjektiivitarina Tarinan tekeminen | Esimerkki: ennen | Esimerkki: jälkeen | Navigointivalikko