Hjdcti

Kannanvaihto tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.

Kannanvaihtomatriisi |

Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.

Kannanvaihtomatriisin määritelmä |

Olkoot S=(u→1,...,u→n)displaystyle S=(vec u_1,...,vec u_n) ja T=(v→1,...,v→n)displaystyle T=(vec v_1,...,vec v_n) vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille x→displaystyle vec x pätee [x→]Tdisplaystyle [vec x]_T=M(T←S)[x→]Sdisplaystyle [vec x]_S, missä [x→]Tdisplaystyle [vec x]_T on vektorin x→displaystyle vec x koordinaattivektorin kannan T suhteen ja [x→]Sdisplaystyle [vec x]_S vektorin x→displaystyle vec x koordinaattivektorin kannan S suhteen.

Menetelmä kannanvaihtomatriisin määrittämiseksi |

Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [I_n|A], missä E=(e→1,...,e→n)displaystyle E=(vec e_1,...,vec e_n) on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).

Esimerkkejä |

Esimerkki 1 |

Olkoon E=(e→1,e→2,e→3)displaystyle E=(vec e_1,vec e_2,vec e_3) vektoriavaruuden R³ luonnollinen kanta ja olkoon S=(u→1,u→2,u→3)displaystyle S=(vec u_1,vec u_2,vec u_3) vektoriavaruuden R³ toinen kanta, jossa u→1=[1 2 4]Tdisplaystyle vec u_1=beginbmatrix1 2 4endbmatrix^T, u→2=[0 1 1]Tdisplaystyle vec u_2=beginbmatrix0 1 1endbmatrix^T ja u→3=[1 3 3]Tdisplaystyle vec u_3=beginbmatrix1 3 3endbmatrix^T. Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis

M(E←S)=[101213413]displaystyle beginbmatrix1&0&1\2&1&3\4&1&3endbmatrix.

Esimerkki 2 |

Olkoot S=(u→1,u→2)displaystyle S=(vec u_1,vec u_2) ja T=(v→1,v→2)displaystyle T=(vec v_1,vec v_2) vektoriavaruuden R² kantoja, joille u→1=[2 1]Tdisplaystyle vec u_1=beginbmatrix2 1endbmatrix^T, u→2=[0 1]Tdisplaystyle vec u_2=beginbmatrix0 1endbmatrix^T, v→1=[1 −1]Tdisplaystyle vec v_1=beginbmatrix1 -1endbmatrix^T ja v→2=[2 3]Tdisplaystyle vec v_2=beginbmatrix2 3endbmatrix^T. Olkoon lisäksi a→=[1 5]Tdisplaystyle vec a=beginbmatrix1 5endbmatrix^T. Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi [12|20−13|11]displaystyle beginbmatrix1&2&
redusoituun porrasmuotoon [10|4/5−2/501|3/51/5]displaystyle &4/5&-2/5\0&1&. Tällöin M(T←S)=[4/5−2/53/51/5]displaystyle beginbmatrix4/5&-2/5\3/5&1/5endbmatrix. Vektorin a→displaystyle vec a koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla [a→]S=[1/2 9/2]Tdisplaystyle [vec a]_S=beginbmatrix1/2 9/2endbmatrix^T. Lasketaan vektorin a→displaystyle vec a koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan

[a→]Tdisplaystyle [vec a]_T=M(T←S)[a→]Sdisplaystyle [vec a]_S=[4/5−2/53/51/5]displaystyle beginbmatrix4/5&-2/5\3/5&1/5endbmatrix[1/29/2]displaystyle beginbmatrix1/2\9/2endbmatrix=[−7/56/5]displaystyle beginbmatrix-7/5\6/5endbmatrix.

Kirjallisuutta |

• Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008.


• David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.