Moreran lause Todistus | Käyttö | Navigointivalikko
KompleksianalyysiMatemaattiset teoreemat
Kompleksianalyysissäjatkuvakompleksiarvoisenintegraaliholomorfinenholomorfinen funktioRiemannin zeeta-funktioGammafunktioanalyyttisiä funktioitatasaisestikompaktissa
Kompleksianalyysissä Moreran lauseen mukaan alueessa D määritelty jatkuva kompleksiarvoisen funktion f integraali pitkin kaikkia umpinaisia paloittain säännöllisiä polkuja. Siis
- ∫Df(z)dz=0displaystyle int _Df(z),dz=0
kaikilla D:n umpinaisilla paloittain säännöllisillä poluilla. Siten jos f on yksinkertainen suljettu käyrä, on f holomorfinen jokaisessa D:n pisteessä.
Todistus |
- ∫Cf(z)dz=0displaystyle int _Cf(z),dz=0
kaikilla umpinaisilla säännöllisillä poluilla C. Siten jokaiselle kahdelle yksinkertaiselle käyrälle γ1 ja γ2D:n sisällä, joka alkaa pisteestä z0 ∈ D ja loppuu pisteeseen z ∈ D, on voimassa
- ∫γ1f(w)dw=∫γ2f(w)dw,displaystyle int _gamma _1f(w),dw=int _gamma _2f(w),dw,
joten
- F(z)=∫γ1f(w)dw=∫γ2f(w)dwdisplaystyle F(z)=int _gamma _1f(w),dw=int _gamma _2f(w),dw
on olemassa. Tämä on holomorfinen funktio ja
- f(z)=F′(z)displaystyle f(z)=F'(z),
on myös holomorfinen.
Käyttö |
Moreran lausetta voidaan käyttää osoittamaan summista tai integraaleista koostuvien funktioiden analyyttisyys. Esimerkkeinä tästä on Riemannin zeeta-funktio
- ζ(s)=∑n=1∞1nsdisplaystyle zeta (s)=sum _n=1^infty frac 1n^s
ja Gammafunktio
- Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx.displaystyle Gamma (alpha )=int _0^infty x^alpha -1e^-x,dx.
Moreran lause antaa myös nopean todistuksen sille, että jono fn(z) analyyttisiä funktioita kompleksitason avoimessa joukossa D suppenee kohti funktiota f(z) tasaisesti jokaisessa kompaktissa osajoukossa K, on f analyyttinen. Ehto voidaan helposti rajoittamaan tapaukseen, missä K on suljettu kiekko.
